수상자 상세정보
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공간곡선*에 대한 극대함수가 유계, 즉, 무한대로 발산하지 않고 어떤 값 사이의 한계를 가지게 되는 르베그 공간**을 세계 최초로 규명한 공로
ㅇ 극대함수와 근현대 해석학
극대함수(maximal function)는 해석학의 중요한 도구로써 주어진 물리적 양(量)의 (혹은 함수) 최대치를 나타내며, 함수의 크기와 변동성을 측정하는 데 핵심적인 역할을 한다. 예를 들면 극대함수는 푸리에 변환과 푸리에 급수의 수렴, 함수의 미분 가능성 및 정칙성과 같은 정교한 성질을 이해하는 데 활용된다. 그뿐만 아니라, 다양한 편미분 방정식의 해와 난해한 구조를 가지는 프랙털 집합을 연구하는 중요한 도구이다. 극대함수에 대한 이론은 현대적 해석학과 더불어 성장했으며, 해석학의 발전에 크게 공헌했다. 현재도 여전히 중요한 역할을 하며, 여러 주요 미해결 문제가 다양한 형태의 극대함수와 깊이 관련되어 있다.
주어진 기하학적 대상 위에서 함수를 적분한 평균값으로 정의되는 극대함수(등장 팽창에 대한 평균값이 최대치)의 유계 문제는 초곡면의 경우 이미 반세기 전에 해결됐다. 그러나 곡선의 경우에는 평면 곡선에 대해서만 해결되었을 뿐 공간곡선에 대해서는 오랫동안 미해결로 남아 있었다.
ㅇ 공간곡선에 대한 극대함수의 최적 유계를 곡선의 기하학적 특성으로 구명
이번 연구는 공간곡선에 대한 극대함수의 최적 유계를 곡선의 기하학적 특성으로 규명한 것이다. 구체적으로 3차원에서 곡률(휘어짐의 정도)과 토션(torsion, 비틀림의 정도)이 모두 영이 아닌 곡선에 대한 극대함수가 르베그 공간에서 유계일 필요충분조건을 규명했다.
이러한 곡선의 대표적 예는 위의 그림과 같은 나선이다. 곡선에 대한 극대함수는 곡면에 대한 극대함수보다 복잡하고 불규칙적이라 기존 방법으로는 접근이 불가능했다. 그러나 이번 연구에서 개발된 방법은 기존에 다룰 수 없었던 거친 극대함수의 유계를 보이는 새로운 접근법을 제공한다. 이 방법은 단순히 공간곡선 극대함수 문제를 해결하는 데 그치는 것이 아니라, 새로운 수학적 도구로서 극대함수 및 관련 문제 연구에 널리 활용될 것이다.
이상혁 교수는 순수수학 중에서도 조화해석학 연구에 깊이 몰두해온 수학자입니다.
학부 시절 전자공학을 전공하던 그는, 수학의 명징한 사고방식과 그 속에 담긴 논리적 아름다움에 매료되어 전공을 수학으로 변경했고, 이후 오롯이 수학자의 길을 걸어왔습니다. 그에게 수학자의 삶은 과학자이자 철학자이며, 동시에 예술가로서 수학 그 자체로서의 아름다움을 탐구하는 과정입니다. 3월 14일 ‘수학의 날’을 앞두고 만난 이상혁 교수는, “연구란 수많은 연구자들의 협력과 학문적 교류 속에서 발전하는 거대한 협업의 과정”이라며, 이번 연구 성과가 우리나라 조화해석학 분야의 발전에 기여하고, 진리를 탐구하는 많은 수학 연구자에게 작은 격려와 영감이 되기를 소망했습니다.
과학기술인상을 받게 되어 깊이 감사드립니다. 무엇보다도 제가 연구하고 있는 조화해석학 분야의 연구 성과가 인정받게 되어 기쁩니다. 또한, 국내의 조화해석학 그룹이 중요한 연구를 수행하고 있다는 점을 널리 알릴 수 있어 더욱 기쁘게 생각합니다. 학문의 연구는 개인의 노력만이 아니라, 수많은 연구자의 협력과 (현재와 과거를 포함하는) 학문적 교류 속에서 발전하는 거대한 협업의 과정입니다. 이번 성과는 저의 개인적 노력뿐만 아니라, 이러한 협업 속에서 여러 연구자의 노력이 쌓여 이루어진 결과입니다. 이 기쁨을 같은 분야에서 연구하는 동료들과 함께 나누고 싶습니다. 특히, 함께 연구를 진행한 공동 연구자들, 그리고 현재같이 연구를 진행하고 있는 연구원께 감사의 마음을 전합니다.
방학 기간, 국내외 공동 연구자들과 다양한 프로젝트를 추진하며 바쁜 시간을 보냈습니다. 연구 교류를 위해 여러 차례 해외 출장을 다녀왔으며, 그 과정에서 얻은 새로운 아이디어를 발전시키는 데 집중하고 있습니다. 또한, 2월 말에는 국내외 연구자들을 초청해 조화 분석 워크숍(Harmonic Analysis Workshop in Seoul)을 개최하였습니다. 이번 워크숍은 조화해석학 분야의 최신 연구 동향을 공유하고, 연구자들 간의 활발한 토론을 통해 학문적 교류를 강화하는 소중한 자리였습니다. 새롭게 시작할 신학기도 다른 학기와 마찬가지로 연구와 교육에 매진할 예정입니다. 극대함수 관련 연구에서 최근 상당한 진전이 있었으며, 이를 바탕으로 문제 해결에 더욱 가까이 다가가고자 노력하고 있습니다.
조화해석학(Harmonic Analysis)은 어떤 함수든 주기를 가지는 삼각함수(사인 함수, 코사인 함수)로 분해할 수 있다는 조셉 푸리에(Joseph Fourier, 1768~1830)의 아이디어에서 출발한 학문입니다. 이러한 푸리에의 아이디어를 정당화하는 과정은 큰 수학적 도전이었으며, 이를 통해 근현대적 함수 개념과 해석학의 기초가 확립되었습니다. 조화해석학은 해석학에서 가장 중심적인 분야 중 하나이며, 신호 및 영상 처리, 데이터 분석, 양자역학 등 현대 사회에서 광범위하게 활용되고 있습니다. 그럼에도 불구하고, 푸리에 변환과 급수가 가지는 근본적 성질은 밝혀 지지 않은 부분이 많습니다. 조합론, 편미분방정식, 기하학, 기하학적 측도론 등 다른 수학 분야와의 상호작용을 통해 발전하고 있는 수학 분야입니다.
더불어 조화해석학에 관심을 가지게 된 것은 복소해석학을 비롯한 해석학 과목을 좋아했기 때문인 것 같습니다. 또한 조화해석학이 구체적이고 직관적이라는 점도 매력적이었습니다.
현재 제가 진행하는 연구의 중요한 부분 중 하나는 다차원 공간에서 푸리에 변환의 성질을 탐구하고, 이에 관련된 여러 양적인 관계를 규명하는 것입니다. 특히, 기하학적 구조를 반영하는 푸리에 해석의 기법을 활용하여 극대함수, 평균 연산자와 같은 조화해석학적 대상을 연구하고 있습니다. 이러한 연구는 근본적인 수학적 질문의 탐구인 동시에, 물리학과 데이터 과학 등 다양한 응용 분야에도 기여할 수 있는 가능성을 가지고 있습니다.
극대함수 연구는 100여 년의 역사를 가지고 있으며, 현대적 해석학의 발전과도 밀접한 관련이 있습니다. 초창기 극대함수 이론은 구체, 또는 정다면체 위의 평균으로 정의되는 하디-리틀우드 극대함수처럼 비교적 단순한 형태에서 출발하여, 복잡한 형태로 확장되었습니다. 그중에서도 저차원 다양체(예를 들어 곡선이나 곡면과 같이 내부가 없는) 위에서 정의되는 극대함수는 현재도 중요한 연구 주제입니다. 1970년대 스타인(E. M. Stein)은 구면 위의 평균으로 정의된 극대함수의 유계를 증명하였고, 이는 많은 연구자들이 다양체(곡선이나 곡면)의 기하학적 특성과 극대함수의 유계 사이의 관계를 연구하는 계기가 되었습니다.
이러한 극대함수 문제는 다양체의 여차원(codimension)*이 커질수록, 즉 다양체가 전체 공간에서 차지하는 비율이 작아질수록 훨씬 어려워집니다. 특히 곡선(curve) 위의 극대함수 문제는 가장 어려운 문제 중 하나입니다. 이 문제에 대한 첫 번째 중요한 돌파구는 1986년, 부르갱(J. Bourgain, 0994년 필즈상 수상자)에 의해 얻어졌습니다. 그는 곡률이 영이 아닌 평면곡선(2차원 공간에서의 곡선)에 대한 극대함수의 유계를 증명했고, 이 결과는 원 극대 정리(circular maximal theorem)라고 불립니다. 하지만 부르갱의 연구는 평면곡선이 아닌 3차원 이상의 공간에서의 곡선(즉, 일반적인 공간곡선)에 대한 극대함수 유계 문제에 대해서는 어떠한 단초도 제공하지 못했습니다. 평면을 넘어 3차원 이상의 공간에서 곡선에 대한 극대함수의 유계를 규명하는 문제는 오랫동안 해결되지 않은 난제로 남아 있었고, 이에 대한 해답을 찾고자 했습니다.
상대적으로 단순해 보이는 곡선의 기하학적 구조에도 불구하고, 3차원 공간에서 곡선에 대한 극대함수의 유계 문제는 부르갱의 원 극대 정리 이후 제기되었으나, 지난 40여년 미해결 상태로 있었습니다. 이 문제는 저와 저의 공저자가 2022년 작성한 논문 ‘Maximal estimates for averages over space curves’에서 세계 최초로 완전히 해결되었습니다. 이 논문에 증명한 정리는 아래와 같습니다.
[공간곡선 극대 정리] 3차원에서 곡률(휘어짐)과 토션(비틀림)이 모두 영이 아닌 곡선에 대한 극대함수가 어떤 르베그 공간에서 유계일 필요충분조건은 ‘그 르베그 공간의 적분 지수가 3보다 크다’이다.
이 연구는 40년 동안 풀리지 않았던 난제를 해결한 것으로, 조화해석학에서 매우 중요한 성과로 평가받았습니다. 연구의 독창성과 중요성을 인정받아, 수학 분야의 최고 권위 학술지 중 하나인 인벤시오네 마테마티케(Inventiones Mathematicae)에 논문이 게재되었으며, 여러 국제 학회에 초청받아 연구 결과를 발표했습니다.
이번 성과는 조화해석학 분야의 중요한 난제를 해결했다는 점에서 큰 의의가 있습니다. 그러나 이보다 더 중요한 것은 이 문제의 해결을 통해 얻어진 새로운 방법이 더욱 큰 가치를 가진다는 점입니다(새로운 수학은 이렇듯 어려운 문제를 해결해 나가는 과정에서 만들어집니다). 이번 연구에서는 개발된 귀납적 방법과 다중선형 접근법은 기존의 방법으로 다룰 수 없는 극대함수의 유계를 증명할 수 있는 방법을 제공합니다. 이 방법은 단순히 공간곡선 극대함수 문제를 해결하는 데 그치는 것이 아니라, 새로운 수학적 도구로서 극대함수 및 관련 문제의 연구에서 널리 활용될 것으로 기대됩니다.
더불어 극대함수는 주어진 물리적 양의 최대치에 대한 양적인 계측을 가능케 하여, 양적인 제어가 필요한 다양한 분야에서 폭 넓게 활용됩니다. 본 연구의 성과는 조화해석학 문제에 직접 활용될 뿐만 아니라, 장기적으로 편미분 방정식, 확률론, 미분 기하학, 수리물리, 수론 등 다양한 분야에 영향을 끼칠 것으로 기대됩니다.
이 문제를 해결하는 데 길게 보면 10년 이상의 시간이 소요되었습니다. 수학 문제를 해결하기 위해서는 무엇보다도 독창적인 아이디어가 중요합니다. 2010년 경 곡선에 대한 푸리에 제한 계측 문제를 연구하면서 여기에 사용한 귀납적 접근법이 곡선에 대한 극대함수 문제에도 핵심적인 도구가 될 수 있다는 직관을 얻었습니다. 그러나 문제를 완전히 해결하기까지는 많은 시행착오가 있었습니다. 특히, 기존 방법만으로는 극복하기 어려운 장벽이 있었기 때문에, 필요한 수학적 도구를 갖추는 데 시간이 걸렸습니다. 본격적인 연구가 시작된 것은 코로나 시기였습니다. 사회적 활동은 위축되었지만, 오히려 연구에 집중하기 좋은 환경이었던 것 같습니다. 이 시기에 기존 방법론을 발전시키고 새로운 접근법을 구체화하였고, 결국 귀납적 방법과 다중선형 접근법을 결합한 새로운 방법론을 창안해 문제를 해결할 수 있었습니다.
수학 분야의 연구는 이론적인 성격이 강하여, 실험을 기반으로 하는 다른 분야에 비해 상대적으로 재정적 요인의 영향을 덜 받는 측면이 있습니다. 그러나 어려운 문제를 장기적으로 탐구하고, 깊이 있는 연구를 지속적으로 추진하기 위해서는 안정적이고 지속적인 재원 확보가 필수적입니다. 국가의 연구 지원은 단순히 개별 연구를 수행하는 데 그치지 않고, 국내외 연구자들과의 교류 및 협력, 그리고 학문 후속 세대 양성에도 중요한 역할을 합니다. 특히, ‘이달의 과학기술인상’수상과 관련해서는 중견연구자지원사업과 기초연구실지원사업을 통한 안정적인 연구비 확보를 통해, 보다 심도 있는 연구를 꾸준하게 수행할 수 있었으며, 국제적인 연구 협력을 강화하고 젊은 연구자들에게도 지속적인 연구 환경을 제공할 수 있었습니다.
순수수학 분야의 성과가 당장 사회에, 또는 직접적으로 영향을 미친다는 것은 기대하기 어려울 것 같습니다. 하지만, 역사적으로 순수수학에서 출발한 많은 이론이 예상치 못한 방식으로 응용되거나 실용적인 가치를 가지게 된 사례가 많습니다. 예를 들어, 한때 순수한 이론적 탐구로 여겨졌던 푸리에 해석이 신호처리, 의료영상, 데이터압축 등에서 핵심적인 역할을 하게 되었듯이 조화해석학에서 다루는 개념과 방법론도 언젠가 새로운 기술이나 이론의 기반이 될 가능성이 있습니다. 이처럼 거창한 사례는 아니더라도, 이번 연구 성과가 우리나라 조화해석학 분야 발전에 기여하고, 진리를 탐구하는 많은 수학자들에게 작은 격려와 영감이 되기를 바랍니다.
수학자는 과학자이면서도 철학자이며, 때로는 예술가에 가깝기도 합니다. 깊은 통찰을 바탕으로 하는 철학적 사유는 심오한 수학적 진리를 탐구하는 데 필수적이며, 여기에 논리적 정밀함이 조화를 이루어야 합니다. 여러 순수학문이 그러하듯이 수학 또한 대중과 쉽게 소통하기 어려운 면이 있습니다. 그래서, 수학자는 자신의 열정을 에너지로 삼아 때로는 고독한 길을 걸어야 합니다. 그러하기에, 물질적 보상이나 명예의 추구보다 수학 자체에 대한 순수한 예술가적 열정이 무엇보다 중요합니다. 새로운 수학을 만들어 가는 과정은 끊임없는 시행착오 속에서 부단한 노력이 필요할 때가 많습니다. 그래서 제가 학생들에게 강조하는 점은 스스로 끌리는 것, 흥미를 느끼는 것을 추구하라는 것입니다. 누군가가 중요하다고 말하는 문제보다, 본인이 진정으로 알고 싶고, 탐구하고 싶은 것을 좇아야 합니다. 그래야만 지치지 않고 끝까지 나아갈 수 있으며, 그 과정에서 자신만의 독창적인 연구를 만들어 갈 수 있다고 생각합니다.
연구자로서의 삶은 희망과 절망이 끊임없이 교차하는 과정의 연속입니다. 오랫동안 고민하던 문제를 해결하고 느끼는 환희가, 얼마 지나지 않아 증명의 오류를 발견하며 깊은 절망으로 바뀌는 일도 많습니다. 물론, 그 반대의 순간도 존재합니다. 가장 기뻤던 순간을 하나만 꼽기는 어렵습니다. 하지만 확실한 것은, 미궁 속을 헤매다 한 줄기 빛을 발견하는 순간, 또는 어디인지 알지 못하는 산속을 걷다가 마침내 정상에 올라 전체 풍경을 내려다보는 듯한 순간은 언제나 큰 기쁨과 보람을 줍니다. 수학을 연구하는 과정은 때로 외롭고 고된 여정이지만, 그 속에서 맞닥뜨리는 작은 깨달음과 문제 해결의 순간들은 연구자로서 살아가는 소중한 원동력이라고 생각합니다.
수학의 실용적인 측면을 차치하더라도, 수학적 사고는 논리적이고 체계적인 문제 해결 능력을 키우며, 더 깊은 수준의 이해와 창의적 사고를 길러줍니다. 그럼에도 불구하고, 수학이 입시나 시험을 위한 과목이 되어 버린 것이 현실입니다. 저는 수학의 저변 확대를 위해서는, 수학을 그 자체로서의 아름다움과 매력을 느낄 수 있도록 교육하는 것이 중요하다고 생각합니다. 수학을 어떻게 가르쳐야 하는지에 대한 다양한 논의가 있지만, 정작 배우고 있는 수학이 “얼마나 멋진가!”라는 감동을 주는 것에 대해서는 강조하지 않습니다. 이러한 감동은 성적이 좋고 나쁨과는 상관없는 것입니다. 수학이 단순히 문제 풀이에 매몰되지 않고, 배우는 과정에서 즐거움을 느낄 수 있으려면, 먼저 배우는 사람과 가르치는 사람 모두가 좀 더 여유를 가질 수 있는 환경이 조성되어야 할 것 같습니다.
현재의 목표는 지금 연구 중인 문제를 깊이 탐구하고, 이를 성공적으로 해결하는 것입니다. 궁극적인 목표는 다소 막연한 부분이 있어, 하나의 희망에 가깝다고 할 수 있습니다. 제가 진행하고 있는 연구의 중요한 축 중 하나는 다차원 푸리에 변환의 근본적인 성질을 규명하는 것입니다. 이와 관련된 어떤 문제들은 여러 세대를 거쳐도 해결되지 않을 수도 있습니다. 그러나 연구를 통해 조금이라도 새로운 통찰을 얻고, 후속 연구의 기반을 마련한다면 그것만으로도 의미 있는 과정이라고 생각합니다. 그리고, 연구 자체와 직접적인 관련이 없을 수도 있지만, 국내에 세계적 수준의 조화해석학 연구그룹을 만드는 것도 목표 중 하나입니다.
저는 학부 때 전자공학을 공부하다가, 수학의 명징한 사고방식과 그 아름다움에 매료되어 전공을 수학으로 바꾸었습니다. 무엇보다 수학을 배우는 과정 자체가 무척 즐거웠습니다. 그렇게 자연스럽게 수학자의 길을 걷게 되었습니다. 학생들에게 전하고 싶은 말이 있다면, 자신이 원하는 것, 하고 싶은 것을 쫓아서 공부하라는 것입니다. 스스로 매력적이라 생각하는 일을 할 때 가장 깊이 몰입할 수 있으며, 결국 그것이 자신의 잠재력을 최대한 발휘하는 길이라고 생각합니다. 그리고 그 길에서 조금 더 참을성을 가지고 꾸준히 나아가는 것이 중요합니다. 학문 연구는 때때로 미지의 세계로 떠나는 탐험과도 같습니다. 익숙한 길을 벗어나 새로운 길을 찾아야 하며, 때로는 알지 못하는 영역에서 길을 잃을 수도 있습니다. 하지만 가던 길을 끝까지 가보는 것도 중요합니다. 새로운 길은 언제나 가던 길이 끝나는 곳에서 다시 열립니다.